Membedah Matematika Kelas 10 Semester 2: Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika kelas 10 semester 2 membuka babak baru dalam pemahaman konsep-konsep yang lebih abstrak dan aplikatif. Kurikulum semester ini biasanya mencakup topik-topik penting seperti Trigonometri, Fungsi Kuadrat Lanjutan, Program Linear, dan Statistika. Menguasai materi ini bukan hanya tentang menghafal rumus, tetapi juga memahami esensi di baliknya dan bagaimana menerapkannya dalam berbagai skenario.

Artikel ini akan mengupas tuntas beberapa contoh soal representatif dari topik-topik tersebut, dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Tujuannya adalah untuk memberikan gambaran yang jelas tentang jenis soal yang mungkin dihadapi siswa, serta strategi efektif untuk menyelesaikannya.

Bagian 1: Trigonometri – Memahami Hubungan Sudut dan Sisi

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga. Di kelas 10 semester 2, fokus utama biasanya pada rasio trigonometri (sinus, kosinus, tangen) untuk sudut-sudut istimewa dan penerapannya dalam pemecahan masalah.

Contoh Soal 1.1:

Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan sudut B adalah sudut siku-siku. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari:
a. sin A
b. cos A
c. tan A
d. sin C
e. cos C
f. tan C

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita perlu mencari panjang sisi miring (AC) menggunakan teorema Pythagoras.

• Teorema Pythagoras: $AC^2 = AB^2 + BC^2$
• $AC^2 = 8^2 + 6^2$
• $AC^2 = 64 + 36$
• $AC^2 = 100$
• $AC = sqrt100 = 10$ cm

Sekarang kita bisa menentukan nilai rasio trigonometri:

• Definisi Rasio Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku:
  • Sinus (sin): Perbandingan sisi depan sudut dengan sisi miring.
  • Kosinus (cos): Perbandingan sisi samping sudut dengan sisi miring.
  • Tangen (tan): Perbandingan sisi depan sudut dengan sisi samping sudut.

a. sin A: Sisi depan sudut A adalah BC (6 cm), sisi miring adalah AC (10 cm).
$sin A = fracBCAC = frac610 = frac35$

b. cos A: Sisi samping sudut A adalah AB (8 cm), sisi miring adalah AC (10 cm).
$cos A = fracABAC = frac810 = frac45$

c. tan A: Sisi depan sudut A adalah BC (6 cm), sisi samping sudut A adalah AB (8 cm).
$tan A = fracBCAB = frac68 = frac34$

d. sin C: Sisi depan sudut C adalah AB (8 cm), sisi miring adalah AC (10 cm).
$sin C = fracABAC = frac810 = frac45$

e. cos C: Sisi samping sudut C adalah BC (6 cm), sisi miring adalah AC (10 cm).
$cos C = fracBCAC = frac610 = frac35$

f. tan C: Sisi depan sudut C adalah AB (8 cm), sisi samping sudut C adalah BC (6 cm).
$tan C = fracABBC = frac86 = frac43$

Contoh Soal 1.2:

Tentukan nilai dari:
a. sin 30° + cos 60°
b. tan 45° – sin 90°
c. 2 * cos 0° + tan 60°

Pembahasan:

Soal ini menguji pemahaman siswa tentang nilai-nilai rasio trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

a. sin 30° + cos 60°
Kita tahu bahwa sin 30° = 1/2 dan cos 60° = 1/2.
$sin 30° + cos 60° = frac12 + frac12 = 1$

b. tan 45° – sin 90°
Kita tahu bahwa tan 45° = 1 dan sin 90° = 1.
$tan 45° – sin 90° = 1 – 1 = 0$

c. *2 cos 0° + tan 60°*
Kita tahu bahwa cos 0° = 1 dan tan 60° = $sqrt3$.
$2 cos 0° + tan 60° = 2 * 1 + sqrt3 = 2 + sqrt3$

Bagian 2: Fungsi Kuadrat Lanjutan – Parabola dan Aplikasinya

Setelah memahami dasar-dasar fungsi kuadrat, semester 2 seringkali membawa materi ini ke tingkat yang lebih mendalam. Topik seperti menentukan persamaan fungsi kuadrat dari titik-titik yang diketahui, menentukan sumbu simetri, titik puncak, dan titik potong dengan sumbu koordinat, serta aplikasi dalam masalah kontekstual menjadi penting.

Contoh Soal 2.1:

Sebuah fungsi kuadrat memiliki titik puncak di (2, 5) dan melalui titik (0, 1). Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut!

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan bentuk umum persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik puncaknya: $f(x) = a(x – h)^2 + k$, di mana (h, k) adalah koordinat titik puncak.

Dalam soal ini, titik puncaknya adalah (2, 5), sehingga h = 2 dan k = 5.
Persamaan menjadi: $f(x) = a(x – 2)^2 + 5$.

Selanjutnya, kita gunakan informasi bahwa fungsi melalui titik (0, 1) untuk mencari nilai ‘a’. Substitusikan x = 0 dan f(x) = 1 ke dalam persamaan:

• $1 = a(0 – 2)^2 + 5$
• $1 = a(-2)^2 + 5$
• $1 = 4a + 5$
• $1 – 5 = 4a$
• $-4 = 4a$
• $a = frac-44 = -1$

Setelah nilai ‘a’ diketahui, substitusikan kembali ke dalam persamaan:

• $f(x) = -1(x – 2)^2 + 5$
• $f(x) = -(x^2 – 4x + 4) + 5$
• $f(x) = -x^2 + 4x – 4 + 5$
• $f(x) = -x^2 + 4x + 1$

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah $f(x) = -x^2 + 4x + 1$.

Contoh Soal 2.2:

Tentukan sumbu simetri, titik puncak, dan titik potong dengan sumbu Y dari fungsi kuadrat $g(x) = 2x^2 – 8x + 6$.

Pembahasan:

Untuk fungsi kuadrat dalam bentuk umum $g(x) = ax^2 + bx + c$, kita memiliki:

• Sumbu Simetri: $x = -fracb2a$
• Titik Puncak: $(-fracb2a, g(-fracb2a))$ atau $(-fracb2a, -fracD4a)$, di mana $D = b^2 – 4ac$ (diskriminan).
• Titik Potong dengan Sumbu Y: Terjadi saat x = 0, sehingga titiknya adalah (0, c).

Dari $g(x) = 2x^2 – 8x + 6$, kita punya a = 2, b = -8, dan c = 6.

• Sumbu Simetri:
  $x = -frac-82(2) = -frac-84 = 2$
  Sumbu simetrinya adalah garis $x = 2$.

• Titik Puncak:
  Kita sudah tahu koordinat x dari titik puncak adalah 2. Sekarang cari koordinat y dengan mensubstitusikan x = 2 ke dalam fungsi g(x):
  $g(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 6$
  $g(2) = 2(4) – 16 + 6$
  $g(2) = 8 – 16 + 6$
  $g(2) = -2$
  Jadi, titik puncaknya adalah (2, -2).

• Titik Potong dengan Sumbu Y:
  Titik potong dengan sumbu Y terjadi saat x = 0.
  $g(0) = 2(0)^2 – 8(0) + 6 = 6$
  Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 6).

Bagian 3: Program Linear – Mengoptimalkan Nilai dalam Keterbatasan

Program linear adalah metode matematika untuk menentukan hasil optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan, dengan tunduk pada serangkaian kendala atau batasan yang diekspresikan sebagai persamaan atau pertidaksamaan linear.

Contoh Soal 3.1:

Seorang pedagang menjual dua jenis buah, yaitu mangga dan apel. Persediaan mangga maksimal 50 kg dan apel maksimal 60 kg. Harga jual mangga Rp10.000 per kg dan apel Rp8.000 per kg. Pedagang tersebut memiliki modal Rp400.000 untuk membeli kedua jenis buah tersebut, dengan harga beli mangga Rp6.000 per kg dan apel Rp5.000 per kg. Tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut!

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mendefinisikan variabel dan membuat model matematika dari masalah ini.

• Misalkan:

  • $x$ = jumlah mangga yang dijual (dalam kg)
  • $y$ = jumlah apel yang dijual (dalam kg)

• Fungsi Tujuan (Keuntungan):
  Keuntungan per kg mangga = Harga jual – Harga beli = Rp10.000 – Rp6.000 = Rp4.000
  Keuntungan per kg apel = Harga jual – Harga beli = Rp8.000 – Rp5.000 = Rp3.000
  Fungsi tujuan keuntungan $K(x, y) = 4000x + 3000y$. Kita ingin memaksimalkan nilai K.

• Kendala (Batasan):

  1. Persediaan mangga: $x le 50$
  2. Persediaan apel: $y le 60$
  3. Modal: $6000x + 5000y le 400000$. Kita bisa sederhanakan dengan membagi 1000: $6x + 5y le 400$.
  4. Non-negatif (jumlah buah tidak mungkin negatif): $x ge 0$, $y ge 0$.

Sekarang kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian (feasible region) yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

• Garis Kendala:
  • $x = 50$
  • $y = 60$
  • $6x + 5y = 400$
  • $x = 0$
  • $y = 0$

Kita perlu mencari titik potong antara garis-garis ini:

1. Potong $6x + 5y = 400$ dengan $x = 50$:
   $6(50) + 5y = 400$
   $300 + 5y = 400$
   $5y = 100$
   $y = 20$
   Titik potong: (50, 20)

2. Potong $6x + 5y = 400$ dengan $y = 60$:
   $6x + 5(60) = 400$
   $6x + 300 = 400$
   $6x = 100$
   $x = frac1006 = frac503 approx 16.67$
   Titik potong: (50/3, 60)

3. Potong $x = 50$ dengan $y = 60$:
   Titik potong: (50, 60). Namun, kita perlu cek apakah titik ini memenuhi kendala modal:
   $6(50) + 5(60) = 300 + 300 = 600$.
   $600 notle 400$. Jadi, titik (50, 60) tidak termasuk dalam daerah penyelesaian.

Titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang valid adalah:

• (0, 0)
• (50, 0) (memenuhi semua kendala)
• (0, 60) (memenuhi semua kendala)
• (50, 20) (memenuhi semua kendala)
• (50/3, 60) (memenuhi semua kendala)

Sekarang, substitusikan koordinat titik-titik pojok ini ke dalam fungsi tujuan $K(x, y) = 4000x + 3000y$:

• $K(0, 0) = 4000(0) + 3000(0) = 0$
• $K(50, 0) = 4000(50) + 3000(0) = 200000$
• $K(0, 60) = 4000(0) + 3000(60) = 180000$
• $K(50, 20) = 4000(50) + 3000(20) = 200000 + 60000 = 260000$
• $K(50/3, 60) = 4000(frac503) + 3000(60) = frac2000003 + 180000 approx 66666.67 + 180000 = 246666.67$

Nilai keuntungan maksimum adalah Rp260.000, yang diperoleh ketika pedagang menjual 50 kg mangga dan 20 kg apel.

Bagian 4: Statistika – Analisis Data dan Distribusi

Statistika di kelas 10 semester 2 biasanya berfokus pada penyajian data dalam berbagai bentuk, perhitungan ukuran pemusatan (mean, median, modus), dan ukuran penyebaran data.

Contoh Soal 4.1:

Diberikan data nilai ulangan matematika 10 siswa sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 9, 7, 8.
Tentukan:
a. Mean (rata-rata)
b. Median (nilai tengah)
c. Modus (nilai yang paling sering muncul)

Pembahasan:

a. Mean:
Jumlahkan semua nilai, lalu bagi dengan banyaknya data.
Jumlah nilai = $7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 5 + 9 + 7 + 8 = 74$
Banyaknya data = 10
Mean = $frac7410 = 7.4$

b. Median:
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Dua nilai tengah adalah data ke-5 dan data ke-6.
Data ke-5 = 7
Data ke-6 = 8
Median = $frac7 + 82 = frac152 = 7.5$

c. Modus:
Cari nilai yang paling sering muncul dalam data.
Nilai 5 muncul 1 kali.
Nilai 6 muncul 1 kali.
Nilai 7 muncul 3 kali.
Nilai 8 muncul 3 kali.
Nilai 9 muncul 2 kali.
Nilai 7 dan 8 sama-sama muncul paling sering (3 kali). Maka, modus dari data ini adalah 7 dan 8 (data bimodal).

Contoh Soal 4.2:

Berikut adalah data tinggi badan 15 siswa dalam cm:
155, 160, 158, 162, 155, 159, 161, 158, 160, 155, 163, 159, 161, 158, 160.
Tentukan median dari data tersebut!

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mengurutkan data dari yang terkecil hingga terbesar.

Data yang diurutkan: 155, 155, 155, 158, 158, 158, 159, 159, 160, 160, 160, 161, 161, 162, 163.

Banyaknya data adalah 15 (ganjil). Median adalah nilai tengah, yaitu data pada urutan ke-$fracn+12$.
Posisi median = $frac15+12 = frac162 = 8$.
Jadi, median adalah data ke-8.

Dari data yang terurut, data ke-8 adalah 159.
Median tinggi badan siswa adalah 159 cm.

Penutup

Memahami contoh soal dan pembahasannya secara mendalam adalah kunci untuk menguasai materi matematika kelas 10 semester 2. Dengan berlatih soal-soal serupa dan memahami logika di balik setiap langkah penyelesaian, siswa akan lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai tantangan matematika. Ingatlah bahwa konsistensi dalam belajar dan mencoba berbagai variasi soal akan membawa hasil yang optimal. Selamat belajar!